Td serie 3 avec corrigé 2014/2015 Mécanique quantique smp et smc s4
II. Représentation discrète - Equation aux valeurs propres – E.C.O.C.
A/ Soit { } une base orthonormée de l’espace des états à deux dimensions et on considère un ket
défini par :
1) a) Montrer que n’est pas normé à l’unité.
b) Définir à partir de un ket normé à l’unité que l’on note .
2) Déterminer dans la base , la matrice représentant l’opérateur projecteur, noté K, sur le ket . K est-il hermitique ?
3) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de K (à un facteur de phase global près). On notera par et ces vecteurs propres.
4) Montrer que et vérifient la relation d’orthonormalisation et la relation de fermeture.
B/ On considère un système physique dont l’espace des états, qui est à trois dimensions, est
rapporté à la base orthonormée discrète formée par les trois kets |u1>, |u2>, |u3>. Dans cette base,
deux opérateurs Lz et S sont définis par :
Lz |u1> = |u1> Lz |u2> = 0 Lz |u3> =u3>
S |u1> = |u3> S |u2> = |u2> S |u3> = |u1>
1) Ecrire les matrices représentant, dans la base {|u1>, |u2>, |u3>}, les opérateurs Lz, Lz
2, S, S2. Ces opérateurs sont-ils des observables ?
2) Donner la forme de la matrice la plus générale représentant un opérateur qui commute avec Lz. Même question pour Lz2, S2.
3) Vérifier que Lz2 et S commutent et donner alors une base de vecteurs propres communs.
4) Parmi les ensembles suivants, lesquels forment un E.C.O.C. : {Lz}, {Lz, S}; {Lz2,S}, {Lz2,S2}.
1) a) Montrer que n’est pas normé à l’unité.
b) Définir à partir de un ket normé à l’unité que l’on note .
2) Déterminer dans la base , la matrice représentant l’opérateur projecteur, noté K, sur le ket . K est-il hermitique ?
3) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de K (à un facteur de phase global près). On notera par et ces vecteurs propres.
4) Montrer que et vérifient la relation d’orthonormalisation et la relation de fermeture.
B/ On considère un système physique dont l’espace des états, qui est à trois dimensions, est
rapporté à la base orthonormée discrète formée par les trois kets |u1>, |u2>, |u3>. Dans cette base,
deux opérateurs Lz et S sont définis par :
Lz |u1> = |u1> Lz |u2> = 0 Lz |u3> =u3>
S |u1> = |u3> S |u2> = |u2> S |u3> = |u1>
1) Ecrire les matrices représentant, dans la base {|u1>, |u2>, |u3>}, les opérateurs Lz, Lz
2, S, S2. Ces opérateurs sont-ils des observables ?
2) Donner la forme de la matrice la plus générale représentant un opérateur qui commute avec Lz. Même question pour Lz2, S2.
3) Vérifier que Lz2 et S commutent et donner alors une base de vecteurs propres communs.
4) Parmi les ensembles suivants, lesquels forment un E.C.O.C. : {Lz}, {Lz, S}; {Lz2,S}, {Lz2,S2}.
III. Particule dans un champ électrique (Extrait d’un Contrôle)
On considère un problème à trois dimensions où le système est une particule de masse m et de
charge q plongée dans un champ électrique statique uniforme parallèle à l'axe Oz d'un repère
cartésien Oxyz. Soit H une observable associée au système et qui s'écrit :
charge q plongée dans un champ électrique statique uniforme parallèle à l'axe Oz d'un repère
cartésien Oxyz. Soit H une observable associée au système et qui s'écrit :
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