Td serie 2 avec corrigé 2014/2015 Mécanique quantique smp et smc s4
II. Marche de potentiel "inversée"
Soit un système de masse m et d’énergie E soumis au potentiel V(x) tel que :
V(x) =V1 pour x<0 et V(x) = V2 pour x>0
Un tel système pourrait par exemple représenter l’interaction d’un électron libre et la structure atomique d’un métal situé en x>0. Considérons que l’électron est libéré du métal et se déplace vers les x négatifs.
V(x) =V1 pour x<0 et V(x) = V2 pour x>0
Un tel système pourrait par exemple représenter l’interaction d’un électron libre et la structure atomique d’un métal situé en x>0. Considérons que l’électron est libéré du métal et se déplace vers les x négatifs.
1) 1er cas : E>V1>V2
Ecrire l’équation de Schrödinger stationnaire dans chacune des régions (I) et (II).
a) Résoudre l’équation de Schrödinger et préciser la nature de chaque terme.
b) Ecrire les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée au point x=0.
c) Définir le coefficient de transmission T, c’est à dire la probabilité pour que l’électron quitte le métal. Expliciter T en fonction de k1 et k2 où k1 et k2 sont les vecteurs d’ondes (à définir). Même question pour R et vérifier que T+R=1.
d) Ecrire T en fonction de V1, V2 et E et faire application numérique avec :
E = 1eV, V1= 0 eV et V2 = 10 eV. Commenter.
2) 2ème cas : V2<E<V1
a) Que devient la solution de l’équation de Schrödinger dans la zone (I) ? Interpréter ce résultat.
b) On considère maintenant que la zone (I) présente une 2èmediscontinuité de potentiel
(V3) à x = a et que V2<V3<E<V1 (barrière de potentiel). Donner une explication qualitative du phénomène qui aura lieu.
Ecrire l’équation de Schrödinger stationnaire dans chacune des régions (I) et (II).
a) Résoudre l’équation de Schrödinger et préciser la nature de chaque terme.
b) Ecrire les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée au point x=0.
c) Définir le coefficient de transmission T, c’est à dire la probabilité pour que l’électron quitte le métal. Expliciter T en fonction de k1 et k2 où k1 et k2 sont les vecteurs d’ondes (à définir). Même question pour R et vérifier que T+R=1.
d) Ecrire T en fonction de V1, V2 et E et faire application numérique avec :
E = 1eV, V1= 0 eV et V2 = 10 eV. Commenter.
2) 2ème cas : V2<E<V1
a) Que devient la solution de l’équation de Schrödinger dans la zone (I) ? Interpréter ce résultat.
b) On considère maintenant que la zone (I) présente une 2èmediscontinuité de potentiel
(V3) à x = a et que V2<V3<E<V1 (barrière de potentiel). Donner une explication qualitative du phénomène qui aura lieu.
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