Exercices TD avec corrigé Algèbre 2 smpc s2
Plan
INDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES........................................................ 2MÉTHODE DU PIVOT ................................................................................................................4
PRODUITS SCALAIRES............................................................................................................. 6
ORTHONORMALISATION........................................................................................................ 10
APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS................................. 13
DIAGONALISATION .................................................................................................................16
Exercice 1
1)Il existe des nombres réels a, b et c pour lesquels A n’est pas diagonalisableFAUX : Car A étant symétrique elle est toujours diagonalisable, , , a b c ∀ .
2) La matrice C est diagonalisable.
FAUX
Si C était diagonalisable, alors elle aurait une seule valeur propre triple 0, et on aurait , ce qui est faux. ()1 −= 0 = CP I P 0
Autre méthode :
Si C était diagonalisable, alors elle aurait une seule valeur propre triple 0, et le noyau de
l’endomorphisme f de matrice C serait de dimension 3. Or , ce qui signifie que
. ( ) CX 0 X 0,0, z =⇔ =() dim Ker 1 f = 0
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