Contrôles et examen Analyse 2 smpc s2
Exercice1
Exercice 1. On considère la courbe plane paramétrée par
x(t) = t2+ 2t
et y(t) = (t + 1)
où t ∈ R∗
1) Montrer que cette courbe admet un point singulier et le déterminer.
2) Quelle est la pente de la tangente en ce point singulier ?
3) Préciser la nature de ce point singulier.
Exercice 2.
1) Soit α ∈ R. Montrer que l'intégrale généralisée suivante Z +∞ 0e−αt1 + tdt
diverge si α ≤ 0 et converge si α > 0.
Exercice 2. Pour tout entier naturel n, on pose
In =Z π20
sinn x dx et Jn =Z π20cosn x dx.
a) Montrer que In = Jn.
b) Montrer que la suite (Jn) est décroissante.
c) A l'aide d'une intégration par parties, établir une relation entre Jn et Jn+2 et en
déduire une expression explicite de Jn.
x(t) = t2+ 2t
et y(t) = (t + 1)
où t ∈ R∗
1) Montrer que cette courbe admet un point singulier et le déterminer.
2) Quelle est la pente de la tangente en ce point singulier ?
3) Préciser la nature de ce point singulier.
Exercice 2.
1) Soit α ∈ R. Montrer que l'intégrale généralisée suivante Z +∞ 0e−αt1 + tdt
diverge si α ≤ 0 et converge si α > 0.
Exercice 2. Pour tout entier naturel n, on pose
In =Z π20
sinn x dx et Jn =Z π20cosn x dx.
a) Montrer que In = Jn.
b) Montrer que la suite (Jn) est décroissante.
c) A l'aide d'une intégration par parties, établir une relation entre Jn et Jn+2 et en
déduire une expression explicite de Jn.
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