Contrôles + corrige Algèbre 2 smpc s2
Exercice 1
1) Factoriser le polynôme X6− 1 sur C.
2) En d´eduire une factorisation du polynôme X6− 1 sur R.
3) Décomposer en éléments simples sur R la fraction rationnelle
Exercice 2
A. L’espace vectoriel R3
est muni de sa base canonique B := (e1, e2, e3). On considérer l’endomorphisme φ de R3 donn´ee par
φ(e1) = e1, φ(e2) = e1 + 2e2, φ(e3) = −e1 + e2 + 3e3.
1) Soit A la matrice de φ dans la base B. Explicitez la matrice A.
2) On consid`ere la famille B0= (e01, e02, e0
3) donnée pare 0
1 = e1, e0
2 = e1 + e2, e0
3 = e2 + e3.
Montrer que B0 est une base de R3.
3) Donner la matrice de passage P de la base B vers la base B0. Calculer son inverse P−1.
4) Donner la matrice de l’endomorphisme φ dans la base B0.
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