Contrôles avec corrigé mecanique du solide sma s4
Exercice 1. (~ 3 points)
Soit un demi-disque de rayon R et de centre O, homogène de masse m,d'épaisseur négligeable (la masse du disque est donc surfacique). L'axe
(O,z) est l'axe perpendiculaire au plan du demi-disque passant par O.
a) Calculer le moment d'inertie du demi-disque par rapport à l'axe (O,z).
b) Par symétrie le centre de gravité G du demi-disque est sur le segment [O,A].
Montrer que OG =4R3 .
c) En déduire le moment d'inertie du demi-disque par rapport à l'axe (A,z). (A,z) est la droite
parallèle à (O,z) passant par le point A défini sur la figure.
Exercice 2. Expérience de Timotchenko (~ 8 points)
Deux cylindres de rayon r, tournent en sens opposés à la vitesse angulaire autour de leur axesrespectifs (O1,z) et (O2,z) distants de 2l. Leur sens de rotation sont donnés sur la figure 0 . Les
axes (O1,z) et (O2,z) sont fixes. Une planche indéformable, homogène de masse m, d'épaisseur
négligeable est placée sur les cylindres (voir figure). Les coefficients de frottement dynamique aux
points de contact I et J entre la planche et les cylindres sont égaux à . La planche est suffisamment
longue pour être toujours en contact avec les cylindres en I et J (voir figure).
Soit O le milieu de [O1,O2] et G le centre de gravité (milieu) de la planche. On note x l’abscisse de
G dans (O;x,y,z). Expérimentalement, on constate que la planche effectue des petites oscillations
dans le plan horizontal. Le but de l'exercice est de calculer la période de ces oscillations.
Soient RI=T I uxN I uy et RJ=TJ uxNJ uy les forces de contact des cylindres sur la planche en I et J. On supposera qu'à chaque instant : −r˙ xr .
a) Déterminer les vitesses de glissement en I et en J en fonction de , r et ˙ x .
b) Quelles sont les forces extérieures sur la barre ? Justifier que T I= NI et T J=−N J . Faire un
schéma représentant toutes les forces extérieures et leur points d'application.
c) En utilisant le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante cinétique) et le
théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle du mouvement (équation différentielle dont x(t) est solution. t est le temps).
d) En déduire la période des oscillations de la barre.
schéma représentant toutes les forces extérieures et leur points d'application.
c) En utilisant le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante cinétique) et le
théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle du mouvement (équation différentielle dont x(t) est solution. t est le temps).
d) En déduire la période des oscillations de la barre.
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