Contrôles avec corrige Algèbre 2 smpc s2
Exercice 1
Soit (G, ·) un groupe commutatif. Soient a et b deux ´el´ements de G d’ordre
respectif n et m. On notera e l’´el´ement neutre de G.
1. Calculer (a · b)nm.
2. Montrer que l’ordre de a · b divise nm (on effectuera une division euclidienne).
3. Soit H l’ensemble constitu´e des ´el´ements d’ordre fini de G. Montrer que H est
un sous-groupe de G.
Exercice 2
1. Donner la d´efinition d’un morphisme de groupes de (G, ∗) vers (H, .).
2. Donner la table de multiplication de Z/6Z et en d´eduire l’ensemble des ´el´ements
de Z/6Z inversibles pour la multiplication.
respectif n et m. On notera e l’´el´ement neutre de G.
1. Calculer (a · b)nm.
2. Montrer que l’ordre de a · b divise nm (on effectuera une division euclidienne).
3. Soit H l’ensemble constitu´e des ´el´ements d’ordre fini de G. Montrer que H est
un sous-groupe de G.
Exercice 2
1. Donner la d´efinition d’un morphisme de groupes de (G, ∗) vers (H, .).
2. Donner la table de multiplication de Z/6Z et en d´eduire l’ensemble des ´el´ements
de Z/6Z inversibles pour la multiplication.
Exercice3
1) Montrer que le reste de la division euclidienne de Xn par X − 1 est 1.
2) En d´eduire le reste de la division euclidienne de X6n par X6
1) Montrer que le reste de la division euclidienne de Xn par X − 1 est 1.
2) En d´eduire le reste de la division euclidienne de X6n par X6
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