Contrôles Analyse 2 smpc s2
Exercice1
Soit (C) la courbe plane paramétrée par
x(t) = 3t2/2+ t − ln(1 + t) et y(t) = exp(t)− ln(1 + t) où t ∈] − 1,+∞[.
a) Montrer que la courbe (C) admet des branches in nies en −1 et +∞.
b) Étudier ces branches in nies (branches paraboliques, directions asymptotiques, asymp-totes).
c) Dans le cas d'une asymptote, préciser la position de la courbe par rapport à l'asymp-tote dans le voisinage du point en question (dire et justi er si la courbe est en-dessous ou au-dessus de l'asymptote).
d) Donner le développement limité à l'ordre 4 de x(t) et y(t) en t = 0.
e) Montrer que t = 0 est un point singulier (ou stationnaire), déterminer l'équation dela tangente en ce point et préciser la nature de ce point singulier.
f) Existe-t-il d'autres points singuliers ?
x(t) = 3t2/2+ t − ln(1 + t) et y(t) = exp(t)− ln(1 + t) où t ∈] − 1,+∞[.
a) Montrer que la courbe (C) admet des branches in nies en −1 et +∞.
b) Étudier ces branches in nies (branches paraboliques, directions asymptotiques, asymp-totes).
c) Dans le cas d'une asymptote, préciser la position de la courbe par rapport à l'asymp-tote dans le voisinage du point en question (dire et justi er si la courbe est en-dessous ou au-dessus de l'asymptote).
d) Donner le développement limité à l'ordre 4 de x(t) et y(t) en t = 0.
e) Montrer que t = 0 est un point singulier (ou stationnaire), déterminer l'équation dela tangente en ce point et préciser la nature de ce point singulier.
f) Existe-t-il d'autres points singuliers ?
Exercice 2
. On dé nit une suite (un) par la relation de récurrence 2un+2−3un+1+un = 0 avec u0 et u1 réels données. On pose
vn = un+1 − un et Sn = v0 + v1 + · · · + vn−1.
a) Déterminer une relation de récurrence entre vn+1 et vn et en déduire l'expression de
vn en fonction de n, u0 et u1.
b) Calculer Sn de deux façons di érentes et en déduire l'expression de un en fonction
de n, u0 et u1.
c) Calculer lim n→∞un en fonction de u0 et u1.
vn = un+1 − un et Sn = v0 + v1 + · · · + vn−1.
a) Déterminer une relation de récurrence entre vn+1 et vn et en déduire l'expression de
vn en fonction de n, u0 et u1.
b) Calculer Sn de deux façons di érentes et en déduire l'expression de un en fonction
de n, u0 et u1.
c) Calculer lim n→∞un en fonction de u0 et u1.
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