Contrôles Algèbre 3 sma s2
Exercice 1
Soient u1, . . . , un des vecteurs d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que l’ensemble F = {λ1u1+· · ·+λnun | λ1, . . . , λn ∈ K} est un sous-espace vectoriel de
Montrer que l’ensemble F = {λ1u1+· · ·+λnun | λ1, . . . , λn ∈ K} est un sous-espace vectoriel de
E = vect(u1, . . . , un).
Exercice 2
Exercice 2
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F ∩ G = F + G ⇔ F = G.
Exercice 3
Montrer que F ∩ G = F + G ⇔ F = G.
Exercice 3
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E, si et seulement si, F ⊂ G ouG ⊂ F.
Exercice 4
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E, si et seulement si, F ⊂ G ouG ⊂ F.
Exercice 4
Comparer vect(A ∩ B) et vect(A) ∩ vect(B).
Exercice 5
Exercice 5
Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que vect(A ∪ B) = ve
Montrer que vect(A ∪ B) = ve
Exercice 6.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidinne de A par B dans les cas suivants :
1. A = X2− 4X + 3 et B = X3+ X22.
2. A = X5+ 1 et B = X + 1.
3. A = 3X7− 2X5+ X3− 4 et B = 2X2− X + 3.
1. A = X2− 4X + 3 et B = X3+ X22.
2. A = X5+ 1 et B = X + 1.
3. A = 3X7− 2X5+ X3− 4 et B = 2X2− X + 3.
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