Contrôles + Algèbre 3 sma s2
Exercice 1
Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R3:
(a) (x1, x2, x3) avec x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, 0, 1) et x3 = (0, 1, 1).
(b) (x1, x2, x3) avec x1 = (2, 1, 1), x2 = (1, 2, 1) et x3 = (1, 1, 2).
(c) (x1, x2, x3) avec x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 0, 3) et x3 = (1, 1, 2).
Exercice 2
Calculer le rang des applications linéaires suivantes :
(a) f : K3→ K3, définie par f(x, y, z) = (−x + y + z, x − y + z, x + y − z).
(b) f : K3→ K3définie par f(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).
(c) f : K4→ K4définie par f(x, y, z, t) = (x + y − t, x + z + 2t, 2x + y − z t,−x + 2y + z).
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B ={e1, e2, e3}. Soit λ ∈ R, on considère les vecteurs v1 = − e1−e2+e3, v2 = e1−λe2−e3et v3 = e1 − e2 − λe3.(a) Soit fλ l’application linéaire de E dans E, définie par fλ(e1) = v1, fλ(e2) = v2, fλ(e3) = v3.
Déterminer la matrice Aλ de fλ dans la base B.
(b) Déterminer suivant les valeurs de λ le rang de fλ.
(c) Calculer, suivant les valeurs de λ, le noyau de fλ.
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